4 使用位移约束的有限元法

    使用位移约束方程的方式有两种：第一种是位移的广义参数的个数不增加，改变以往的采用结点参数确定各广义参数的方法，广义协调元和双参数法便是采用这种方法；第二种方法是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。

4.1 广义协调元和双参数法

    方程(6)、(7)反映了分片检验对位移函数的要求，与其相应的有限元法是广义协调元和双参数法。从(6)、(7)可以看出，若使单元通过分片检验，则应包含条件：

或 （i=1,…,r）                     (19)

广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移插值函数在结点处的表达不一定精确，有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接由结点位移表示的，因此在做分片检验时会有一定的误差，即不很准确地通过分片检验。这一点可由文^[8]中的算例看出。

对于某些特殊形状的单元来说，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分条件，非必要条件，这一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知，矩形薄板单元不满足 连续，可以验证它同样不满足(19)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高，其原因是它满足方程(6)和(7)。

4.2 增加位移中的广义参数

    可以增加位移函数中的广义参数，通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数，这样得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函数的空间，但它的应用还非常少，其主要原因是计算中涉及求逆运算。目前计算机技术及软件的高速发展，尤其是代数运算软件的出现，这种做法也许会有一些生命力。下面举一个通过这种方法改善单元性能的例子。

   在构造三角形单元时，人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折，面积坐标的应用解决了对称性的问题，但Zienkiewicz元（BCIZ元）的性能不佳也是人所共知的。今位移函数的基取完全的三次式，含十个基函数，采用面积坐标可写成如下形式：

                                        (20)

其中 为Zienkiewicz元的单元位移函数， (i=1,2,3)为三个面积坐标，C为待定参数。以下通过C的确定来改善单元的性质。因只有一个待定参数，方程(6)不可能完全得到满足，考虑到对称性将(6)中的前两式相加得到方程：

                                           (21)

对边长为0.5的方板做图示两种网格划分，坐标原点在1点，其中图二中5点坐标为(0.2，0.15)，边界结点的位移参数按任意的二次挠度场 给定，计算5点的挠度及转角，表1列出了Zienkiewicz元和改进的Zienkiewicz元结果。

表1 分片试验

可以看出改进Zienkiewicz元的性能有很大的改善，以下做一算例。

算例：方板中心受集中力，根据对称性，取板的四分之一，采用交叉网格的计算结果如表2。

表2  BCIZ元改进前后板中心挠度计算

    由算例可以看出改进Zienkiewicz元的收敛性能有了很大的改善，而且单元采用的位移函数不仅具有几何对称性，各结点的挠度和转角值也表达精确。在三次位移函数的单元中，这种单元的位移函数的插值空间得到了进一步改进。

5 总结

通过前面的讨论可以看出，各有限元法与分片试验是密不可分的，它们自觉或不自觉得满足了分片试验的要求。这些有限元法合理的共同原因也许在于它们能通过分片试验。

满足了应变约束条件的有限元法，一般是以损失连续性方程的严格性为代价的，这一点对计算结果一般影响不大，而且往往会改善计算精度，这些有限元法对分片试验的满足十分自然，但有些时候会涉及秩的问题；

使用了位移约束条件的有限元法，以损失位移函数在单元结点的准确程度为代价，换取了单元总体性能的改进，或者改善了位移试函数的插值空间，这类有限元法对在保持位移函数的几何对称性上有些困难。以上两类有限元法都得出了很多属于自己特色的单元。

   本文得出的是常应变分片试验的要求，同样可以得出应变或位移在什么情况下，能够通过线性应变的分片试验。如果单元的位移参数较多，位移插值函数已含完全三次多项式，单元片在线性应变情况下也应计算准确，这样才更值得我们增加参数。

上一页  [1] [2] [3] [4] 下一页